七)生律法及七声相对音高的确立 “旋宫转调”问题的解决
七声和相应七音各音间的弦长比是可以计算出来的。我们可以根据公元前七世纪《管子·地员篇》的记载:“凡将起五音,先主一而三之,四开以合九九,以是生黄钟小素之首,以为宫;三分而益之以一,以百有八为徵;不无有三分而去其乘,适足以是生商;有三分而复于其所,以是生羽;有三分而去其乘,适足以是成角。”这种方法叫做三分损益法。其法可用数学式表示出来: (1×3)4 =81……一定长度的弦为宫(设宫在黄钟C) 81×4/3=108……(三分益一)宫音下方纯四度为徵(林钟g) 108×2/3=72……(三分损一)徵音上方纯五度为商(太簇D) 72×4/3=96……(三分益一) 商音下方纯四度为羽(南吕a) 96×2/3=64…… (三分损一)羽音上方纯五度为角(姑洗E) 如果我们将宫(黄钟C)先三分损一,便得: 81×2/3=54……(三分损一)宫音上方纯五度为徵(林钟G) 54×4/3=72……(三分益一)徵音下方纯四度为商(太簇D) 72×2/3=48……(三分损一)商音上方纯五度为羽(南吕A) 48×4/3=64……(三分益一)羽音下方纯四度为角(姑洗E) 由此,我们也可以将五声及五音找出来。其中黄钟上方纯五度的林钟G音比黄钟下方的纯四度的林钟g音高八度,而G音弦长与g音弦长之比: 54/108=1/2 同样,A音弦长与a音弦长之比: 48/96=1/2 于是我们得出一个很有用的结论:有八度关系的两音,高音的弦长总是低音弦长的一半;反之,低音的弦长总是高音的弦长的两倍。 如果要扩充到七音,则同样可得: 64×2/3=128/3……(三分损一)角音上方方纯五度为变宫(应钟B) (128/3)×4/3=512/9……(三分益一)变宫下方纯四度为变徵(蕤宾#F) 如果我们继续下去,可得十二律的其余五个音的弦长比例: (512/9)×4/3=2048/27(三分益一)蕤宾下方纯四度的大吕bD (2048/27)×2/3=4096/81(三分损一)大吕上方纯五度的夷则bA (4096/81)×4/3=16384/243(三分益一)夷则下方纯四度的夹钟bE (16384/243)×2/3=32768/729(三分损一)夹钟上方纯五度的无射bB (32768/729)×4/3=131072/2187(三分益一)无射下方纯四度的仲吕F (131072/2187)×2/3=262144/6561(三分损一)中吕上方纯五度回到黄钟C1) C1比C高八度,因此,C的弦长应为C1的2倍,即为: (262144/6561)×2=524288/6561=79.90976985216,与实际长度的误差为: 81-79.90976985216=1.09023014785 可见,三分损益法,并不能解决“旋宫转调”的问题。如果我们仔细计算一下,十二律各音弦长之间并不是成等比级数的关系。成等比级数关系,应当从第二项起,每一项和它前一项的比是一个常数k,即 b/a=c/b=d/c=e/d=……=k ,由此得b=ak, c=bk, d=ck,……即后一项总等于前一项乘以常数k, (k=0.94387440) 我们只要举出前三项之比,就能说明它们的比不相等,因而用三分损益法得出的十二律,不是等比级数。 (2048/27)/81=211/37=0.936442615455 72/(2048/27)=35/28=0.94921875 0.936442615455≠0.94921875
两音之间按半音关系从低音到高音排列的十二律和七声弦长为:
表20
十 二 律 | 七 声 | 西 律 | 弦 长 | 黄 钟 | 宫 | C | 81 | 大 吕 | | bD | 2048/27= 75.85185185185 | 太 簇 | 商 | D | 72 | 夹 钟 | | bE | 16384/243=67.42386831276 | 姑 洗 | 角 | E | 64 | 仲 吕 | | F | 131072/2187= 59.93232738912 | 蕤 宾 | 变徵 | #F | 512/9= 56.88888888889 | 林 钟 | 徵 | G | 54 | 夷 则 | | bA | 4096/81= 50.56790123457 | 南 吕 | 羽 | A | 48 | 无 射 | | bB | 32768/729= 44.94924554184 | 应 钟 | 变宫 | B | 128/3= 42.66666666667 | 清 黄 | 宫 | C1 | 262144/6561= 39.95488492608 |
古代音阶大都以宫音为主,若与十二律相配,可构成十二个不同音高的宫调,我们称之为“旋相为宫”。以黄钟为宫称为“黄钟宫”,以大吕为宫称谓“大吕宫”,以此类推。 我国古代七声音阶常用变徵(比徵低半音),而不用清音(比角高半音),就是因为用三分损益法,由变宫求出的上方纯五度(或下方纯四度)必然是变徵,而不是清角。
上面说过,十二律两相邻音的弦长之比并不是等比级数,因而,三分损益律解决不了“旋宫转调”中黄钟回归本律的问题。这个问题由明代的乐律学家朱载堉解决了,一时引起轰动,他被誉为“东方文艺复兴式的人物”,是“上帝赐与人类的娇子”。 在朱载堉的《律吕精义》之中,他说“‘应钟倍律之律’是为半音间的振动体长度比。应钟倍律之数即得,其他各律则可以一一求出了。” 因为求应钟倍律的方法比较繁琐,此处不再详细介绍,只把结果大意写出来: “各律音皆以黄钟正数10寸乘之,为实,皆以应钟倍率10.5946309 4359 2952 6456 1825寸为法,除之,即得其次律也。” 朱载堉的“十二平均律”,也叫“十二等比律”。我们不妨用等比级数的通项公式来求十二律中的各律。设首项为a1=81,公比为r=10÷10.59463094=0.9438 7439 6746,约为0.94387440,项数为n,n为小于13的正整数, 于是:an= a1rn-1 下表是我们用朱载堉的“十二平均律”算出来的结果、和前面用三分损益法算的结果、以及《史记·律书》律值进行对照(为简化只取小数点后四位):
表21
依据《管子·地员篇》 | 依据《史记·律书》 | 根据朱载堉“十二平均律”朱氏常数 | 三分损益法·律值 | 律值 | r=0.9438 7440 计算出律值 | 黄钟 81 | 81 | ① C 81 黄钟 | 林钟 54 | 54 | ⑧蕤×0.9438 7440=G 54.0610 林钟 | 太簇 72 | 72 | ③大×0.9438 7440=D 72.1628 太簇 | 南吕 48 | 48 | ⑩夷×0.9438 7440=A 48.1629 南吕 | 姑洗 64 | 64 | ⑤夹×0.9438 7440=E 64.2898 姑洗 | 应钟 42.6667 | 42.66667 | ⑿无×0.9438 7440=B 42.9083 应钟 | 蕤宾 56.8889 | 56.66667 | ⑦中×0.9438 7440=#F 57.2757 蕤宾 | 大吕 75.8519 | 75.66667 | ②黄×0.9438 7440=bF 76.4538 大吕 | 夹钟 67.4239 | 67.33333 | ④太×0.9438 7440=bE 68.1126 夹钟 | 夷则 50.5679 | 50.66667 | ⑨林×0.9438 7440=bA 51.0268 夷则 | 无射 44.9492 | 44.66667 | ⑾南×0.9438 7440=bB 45.4597 无射 | 仲吕 59.9323 | 59.66667 | ⑥姑×0.9438 7440=F 60.6814 中吕注 |
注:从第二个序号开始,每一个平均律值,都等于前一个序号的律值×0.94387440。例如,第三个太簇的平均律值等于第二个大吕平均律值76.4538×0.9438 7440=72.1628 即 太簇=76.4538×0.9438 7440=72.1628 清黄=42.9083×0.9438 7440=40.50004 与理论上的值40.5000误差很小,这样就解决了旋宫转调的问题。
古人用管、钟、弦定音,所以有管律、钟律、弦律之说。所用管叫律管,它是一种竹管。用十二个长度不同的律管吹出十二个不同高度的标准音,来确定乐音的高低。律管之间,按照十二平均律决定它的长度。长管发音低,短管发音高。这样就确定了十二律的固定音高(绝对音高)。黄钟律管长9寸,孔径3分,围9分。用三分损益法知,林钟律管长6寸,太簇8寸,南吕5又1/3寸,姑洗7又1/9寸。…… 宫、商、角、变徵、徵、羽、变宫七音是相对音高,它们的音高是由“律”来确定的。确定时只需确定主音就行了。如宫调的主音为宫,把黄钟定为宫音,此时宫音的音高为黄钟宫,于是其它六音的音高也随之确定:商音音高为太簇;角音音高为姑洗;变徵音高为蕤宾;徵音音高为林钟;羽音音高为南吕;变宫音高为应钟。若把大吕定为宫音,称大吕宫,其余六音也跟着变动,各音的音高是什么,由读者自己去确定。
在上音乐课时,音乐老师往往用音叉来定起音的高低。音叉一般用钢琴上的小字組的a1=440hz(赫芝)作标准,每两相邻半音关系的音,高音频率与低音频率之比是一个常数r=1.059。 由此,十二律的频率也是一个等比级数,任意一项可据公式 an=a1×1.059n-1求出。我们求出的相当钢琴小字一组的各音的频率为:
表22
小字一组 | 频率(hz) | c1 | 262 | bd1 | 277 | d1 | 294 | be1 | 311 | e1 | 330 | f1 | 349 | #f1 | 370 | g1 | 392 | ba1 | 415 | a1 | 440 | bb1 | 466 | b1 | 494 |
若要求小字二組c2的各个音的频率,只要将c1組的各个音的频率都乘以常数2便可以了。若要求大字組C的各个音的频率,只要将c1組的各个音的频率除以2便可以了。 上面我们用了不少篇幅来计算律管的长度,以确定十二律的绝对音高(频率),并由此确定出七声的相对音高;同时,解决了旋宫转调的问题。因为十二律和七声是宫调音律的基础,所以,花些篇幅来讨论这些问题是很必要的。
上面为曾侯乙编钟,总共65件,每个编钟能奏出呈三度音阶的双音。全套钟十二个半音齐奏,可以旋宫转调。
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