七）生律法及七声相对音高的确立 “旋宫转调”问题的解决
七声和相应七音各音间的弦长比是可以计算出来的。我们可以根据公元前七世纪《管子·地员篇》的记载：“凡将起五音，先主一而三之，四开以合九九，以是生黄钟小素之首，以为宫；三分而益之以一，以百有八为徵；不无有三分而去其乘，适足以是生商；有三分而复于其所，以是生羽；有三分而去其乘，适足以是成角。”这种方法叫做三分损益法。其法可用数学式表示出来： （1×3）4 =81……一定长度的弦为宫（设宫在黄钟C） 81×4/3=108……（三分益一）宫音下方纯四度为徵（林钟g） 108×2/3=72……（三分损一）徵音上方纯五度为商（太簇D） 72×4/3=96……（三分益一） 商音下方纯四度为羽（南吕a） 96×2/3=64…… （三分损一）羽音上方纯五度为角（姑洗E） 如果我们将宫（黄钟C）先三分损一，便得： 81×2/3=54……（三分损一）宫音上方纯五度为徵(林钟G) 54×4/3=72……（三分益一）徵音下方纯四度为商（太簇D） 72×2/3=48……（三分损一）商音上方纯五度为羽（南吕A） 48×4/3=64……（三分益一）羽音下方纯四度为角（姑洗E） 由此，我们也可以将五声及五音找出来。其中黄钟上方纯五度的林钟G音比黄钟下方的纯四度的林钟g音高八度，而G音弦长与g音弦长之比： 54/108=1/2 同样，A音弦长与a音弦长之比： 48/96=1/2 于是我们得出一个很有用的结论：有八度关系的两音，高音的弦长总是低音弦长的一半；反之，低音的弦长总是高音的弦长的两倍。 如果要扩充到七音，则同样可得： 64×2/3=128/3……（三分损一）角音上方方纯五度为变宫（应钟B） (128/3)×4/3=512/9……(三分益一)变宫下方纯四度为变徵（蕤宾#F） 如果我们继续下去，可得十二律的其余五个音的弦长比例： （512/9）×4/3=2048/27（三分益一）蕤宾下方纯四度的大吕bD (2048/27)×2/3=4096/81(三分损一)大吕上方纯五度的夷则bA (4096/81)×4/3=16384/243(三分益一)夷则下方纯四度的夹钟bE (16384/243)×2/3=32768/729(三分损一)夹钟上方纯五度的无射bB (32768/729)×4/3=131072/2187（三分益一）无射下方纯四度的仲吕F (131072/2187)×2/3=262144/6561(三分损一)中吕上方纯五度回到黄钟C1) C1比C高八度，因此，C的弦长应为C1的2倍，即为： （262144/6561）×2=524288/6561=79.90976985216，与实际长度的误差为： 81-79.90976985216=1.09023014785 可见，三分损益法，并不能解决“旋宫转调”的问题。如果我们仔细计算一下，十二律各音弦长之间并不是成等比级数的关系。成等比级数关系，应当从第二项起，每一项和它前一项的比是一个常数k,即 b/a=c/b=d/c=e/d=……=k ,由此得b=ak, c=bk, d=ck,……即后一项总等于前一项乘以常数k, (k=0.94387440) 我们只要举出前三项之比，就能说明它们的比不相等，因而用三分损益法得出的十二律，不是等比级数。 (2048/27)/81=211/37=0.936442615455 72/(2048/27)=35/28=0.94921875 0.936442615455≠0.94921875
两音之间按半音关系从低音到高音排列的十二律和七声弦长为：
表20
| 十 二 律 | 七 声 | 西 律 | 弦 长 | | 黄 钟 | 宫 | C | 81 | | 大 吕 | | bD | 2048/27= 75.85185185185 | | 太 簇 | 商 | D | 72 | | 夹 钟 | | bE | 16384/243=67.42386831276 | | 姑 洗 | 角 | E | 64 | | 仲 吕 | | F | 131072/2187= 59.93232738912 | | 蕤 宾 | 变徵 | #F | 512/9= 56.88888888889 | | 林 钟 | 徵 | G | 54 | | 夷 则 | | bA | 4096/81= 50.56790123457 | | 南 吕 | 羽 | A | 48 | | 无 射 | | bB | 32768/729= 44.94924554184 | | 应 钟 | 变宫 | B | 128/3= 42.66666666667 | | 清 黄 | 宫 | C1 | 262144/6561= 39.95488492608 |
古代音阶大都以宫音为主，若与十二律相配，可构成十二个不同音高的宫调，我们称之为“旋相为宫”。以黄钟为宫称为“黄钟宫”，以大吕为宫称谓“大吕宫”，以此类推。 我国古代七声音阶常用变徵（比徵低半音），而不用清音（比角高半音），就是因为用三分损益法，由变宫求出的上方纯五度（或下方纯四度）必然是变徵，而不是清角。
上面说过，十二律两相邻音的弦长之比并不是等比级数，因而，三分损益律解决不了“旋宫转调”中黄钟回归本律的问题。这个问题由明代的乐律学家朱载堉解决了，一时引起轰动，他被誉为“东方文艺复兴式的人物”，是“上帝赐与人类的娇子”。 在朱载堉的《律吕精义》之中，他说“‘应钟倍律之律’是为半音间的振动体长度比。应钟倍律之数即得，其他各律则可以一一求出了。” 因为求应钟倍律的方法比较繁琐，此处不再详细介绍，只把结果大意写出来： “各律音皆以黄钟正数10寸乘之，为实，皆以应钟倍率10.5946309 4359 2952 6456 1825寸为法，除之，即得其次律也。” 朱载堉的“十二平均律”，也叫“十二等比律”。我们不妨用等比级数的通项公式来求十二律中的各律。设首项为a1=81,公比为r=10÷10.59463094=0.9438 7439 6746,约为0.94387440，项数为n,n为小于13的正整数， 于是：an= a1rn-1 下表是我们用朱载堉的“十二平均律”算出来的结果、和前面用三分损益法算的结果、以及《史记·律书》律值进行对照（为简化只取小数点后四位）：
表21
| 依据《管子·地员篇》 | 依据《史记·律书》 | 根据朱载堉“十二平均律”朱氏常数 | | 三分损益法·律值 | 律值 | r=0.9438 7440 计算出律值 | | 黄钟 81 | 81 | ① C 81 黄钟 | | 林钟 54 | 54 | ⑧蕤×0.9438 7440＝G 54.0610 林钟 | | 太簇 72 | 72 | ③大×0.9438 7440＝D 72.1628 太簇 | | 南吕 48 | 48 | ⑩夷×0.9438 7440＝A 48.1629 南吕 | | 姑洗 64 | 64 | ⑤夹×0.9438 7440＝E 64.2898 姑洗 | | 应钟 42.6667 | 42.66667 | ⑿无×0.9438 7440＝B 42.9083 应钟 | | 蕤宾 56.8889 | 56.66667 | ⑦中×0.9438 7440＝#F 57.2757 蕤宾 | | 大吕 75.8519 | 75.66667 | ②黄×0.9438 7440＝bF 76.4538 大吕 | | 夹钟 67.4239 | 67.33333 | ④太×0.9438 7440＝bE 68.1126 夹钟 | | 夷则 50.5679 | 50.66667 | ⑨林×0.9438 7440=bA 51.0268 夷则 | | 无射 44.9492 | 44.66667 | ⑾南×0.9438 7440＝bB 45.4597 无射 | | 仲吕 59.9323 | 59.66667 | ⑥姑×0.9438 7440＝F 60.6814 中吕注 |
注：从第二个序号开始，每一个平均律值，都等于前一个序号的律值×0.94387440。例如，第三个太簇的平均律值等于第二个大吕平均律值76.4538×0.9438 7440=72.1628 即 太簇=76.4538×0.9438 7440=72.1628 清黄=42.9083×0.9438 7440=40.50004 与理论上的值40.5000误差很小，这样就解决了旋宫转调的问题。
古人用管、钟、弦定音，所以有管律、钟律、弦律之说。所用管叫律管，它是一种竹管。用十二个长度不同的律管吹出十二个不同高度的标准音，来确定乐音的高低。律管之间，按照十二平均律决定它的长度。长管发音低，短管发音高。这样就确定了十二律的固定音高（绝对音高）。黄钟律管长9寸，孔径3分，围9分。用三分损益法知，林钟律管长6寸，太簇8寸，南吕5又1/3寸，姑洗7又1/9寸。…… 宫、商、角、变徵、徵、羽、变宫七音是相对音高，它们的音高是由“律”来确定的。确定时只需确定主音就行了。如宫调的主音为宫，把黄钟定为宫音，此时宫音的音高为黄钟宫,于是其它六音的音高也随之确定：商音音高为太簇；角音音高为姑洗；变徵音高为蕤宾；徵音音高为林钟；羽音音高为南吕；变宫音高为应钟。若把大吕定为宫音，称大吕宫，其余六音也跟着变动，各音的音高是什么，由读者自己去确定。
在上音乐课时，音乐老师往往用音叉来定起音的高低。音叉一般用钢琴上的小字組的a1=440hz(赫芝)作标准，每两相邻半音关系的音，高音频率与低音频率之比是一个常数r=1.059。 由此，十二律的频率也是一个等比级数，任意一项可据公式 an=a1×1.059n-1求出。我们求出的相当钢琴小字一组的各音的频率为：
表22
| 小字一组 | 频率（hz） | | c1 | 262 | | bd1 | 277 | | d1 | 294 | | be1 | 311 | | e1 | 330 | | f1 | 349 | | #f1 | 370 | | g1 | 392 | | ba1 | 415 | | a1 | 440 | | bb1 | 466 | | b1 | 494 |
若要求小字二組c2的各个音的频率，只要将c1組的各个音的频率都乘以常数2便可以了。若要求大字組C的各个音的频率，只要将c1組的各个音的频率除以2便可以了。 上面我们用了不少篇幅来计算律管的长度，以确定十二律的绝对音高（频率），并由此确定出七声的相对音高；同时，解决了旋宫转调的问题。因为十二律和七声是宫调音律的基础，所以，花些篇幅来讨论这些问题是很必要的。
上面为曾侯乙编钟，总共65件，每个编钟能奏出呈三度音阶的双音。全套钟十二个半音齐奏，可以旋宫转调。
| 
发表于 2015-9-20 11:04:53
